IX Escuela Doctoral Intercontinental de Matemáticas PUCP-UVa
Lima, México y Valladolid, entre el 30 de mayo y el 10 de junio de 2016.
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Semana del 30 de Mayo al 3 de Junio, desde las 16:00 h (GTM+2)
Alfredo Poirier (Dpto. de Ciencias de la PUCP)
"Iteración de polinomios"
Introducción. “Elevar al cuadrado” como caso típico de estudio: no normalidad cerca del círculo; puntos periódicos repelentes y su densidad, densidad del “alfa” limite de una órbita en el conjunto de Julia. El punto en infinito como superatractor.
Los invariantes como objetos de estudio e interés. Coordenadas versus libre de coordenadas. No equivalencia del disco y el plano (vía teorema de Liouville) versus equivalencia del disco y el semiplano (vía construcción explícita). Multiplicadores de una órbita periódica. Grado local y discreción de puntos críticos.
Herramientas básicas del análisis complejo. Rigidez y principio del módulo máximo. No equivalencia del disco y el plano, automorfismos del plano complejo. Lema de Schwartz. Clasificación de los automorfismos del círculo (y el semiplano) Las funciones racionales como prototipo de las funciones propias.Recubrimientos. Fórmula de Riemann-Hurwitz Familias normales (teorema de Montel). Invarianza de la normalidad.
Conjuntos de Julia y de Fatou, invarianza (total) de ellos. Las cuencas de puntos periódicos atractivos son Fatou; las órbitas periódicos repelentes son de Julia. Puntos parabólicos (que son Julia!) El conjunto de Julia es no vacío. El metodo de Newton Grandes órbitas, conjuntos excepcionales, y transitividad cerca de puntos de Julia. Conjuntos de Julia no tienen interior (en lo polinomial) La frontera de una cuenca coincide con el conjunto de Julia. Preimagenes de casi todo punto son densas. No hay puntos aislados en el conjunto de Julia.
Estructura Local: Puntos topológicamente atractivos son atractivos. Linealización de Koenings. Densidad de puntos periódicos en el conjunto de Julia. Relación entre puntos críticos y órbitas periódicas no repelentes.
Una mirada global: La estructura del conjunto de Fatou. Relación entre la órbita de los puntos críticos y conexidad del conjunto de Julia en el caso polinomial. Conjunto de Mandelbrot.
Fuensanta Aroca (Instituto de Matemáticas de la UNAM-Cuernavaca)
"Parametrizaciones, polígonos de Newton y geometría tropical"
Resumen: Explicaremos el teorema de Newton Puiseux de existencia de
parametrizaciones de curvas planas. Veremos las extensiones que existen
para hipersuperficies utilizando series con exponentes en conos: Mac Donad
y Soto-Vicente. Introduciremos las series de Puiseux generalizadas y
veremos como las extensiones de Mac Donal y Soto-Vicente son consecuencia
directa de un teorema de Rainer. También veremos como son los dominios de
convergencia de estas series y extenderemos el método de Newton para
codimensión arbitraria utilizando la variedad tropical.
Semana del 6 al 10 de Junio, desde las 16:00 h (GTM+2):
F. Cano (Univ. de Valladolid)
"Elementos organizadores de la dinámica en foliaciones analíticas singulares "
Resumen: Presentaremos una serie de objetos y estructuras infinitesimales de carácter geométrico que sirve de guía para estructurar en cierto sentido la dinámica de foliaciones analíticas:
1. El teorema refinado de Camacho-Sad, separadores nodales y consecuencias sobre el espacio de hojas para foliaciones holomorfas de (C²,0)
2. Existencia de hipersuperficies invariantes para foliaciones de codimensión uno. Dicriticidad y la condición CH. Separatrices parciales y separatrices aisladas. Componentes nodales no interrumpidas.
3. Objetos formales que representan estructuras geométricas invariantes. Curvas formales de campos analíticos reales.
4. Campos de vectores con integrales primeras. Desingularización. Versiones de la alternativa de Brunella.
Laura Ortiz (Instituto de Matemáticas de la UNAM-DF)
"Invariantes de foliaciones definidas por ecuaciones diferenciales en (C²,0)"
Resumen: El objetivo de las charlas es dar un panorama de los invariantes que pueden surgir en la clasificación de ecuaciones diferenciales. En particular se hablará del problema de Thom sobre la clasificación de gérmenes de foliaciones definidas por gérmenes de campos vectoriales con singularidad degenerada. Este problema puede enunciarse como el problema de construir un conjunto mínimo de invariantes (los invariantes de Thom) tal que la condición necesaria y suficiente de la equivalencia de dos foliaciones en la clase mencionada sea la coincidencia de los respectivos invariantes.
Organización: Centro Tordesillas de Relaciones con Iberoamérica y la Sección Matemáticas de la PUCP
Organizadores:
Francisco Ugarte (PUCP) y José Cano (UVa, jcano(at)agt.uva.es).